Einblicke in die Theoretische Informatik I – Kapitel 1.2.1


1.2 Relationen und Ordnungen

1.2.1 Relationen und Kartesisches Produkt

Kartesisches Produkt

Wir denken uns zwei beliebige Mengen, also eine Zusammenfassung verschiedener Elemente.
Nehmen wir an die 1. Menge, Farbe, umfasst „rot“, „blau“ und „gelb“, die zweite Menge, „Farbton“, umfasst die Elemente “ weiß“, „schwarz“ und „nichts“.
Es gilt also: Farbe = {rot, blau, gelb} und Farbton ={weiß, schwarz,nichts}
Das kartesische Produkt dieser beiden Mengen ist die Kombination einer jeden Farbe mit jedem Farbton.
Man schreibt: Farbe x Farbton
Als Ergebnis erhalten wir n- Tupel, sprich Paare von n Elementen. n steht dabei dafür, aus wie vielen Mengen wir das kartesische Produkt bilden.
In diesem Fall haben wir 2 Mengen, aus denen wir das kartesische Produkt bilden und erhalten daher Paare.

Farbe x Farbton ={(a, b) | a ist Element aus Farbe und b ist Element aus Farbton }

Wir erhalten also als neu entstandene Menge:

Farbvariation = Farbe x Farbton = {(rot, schwarz ),(rot, weiß), (rot, nichts), (blau, schwarz), (blau, weiß), (blau, nichts), (gelb, schwarz), (gelb, weiß), (gelb, nichts)}

Jetzt haben wir jedes Element der Menge Farbe mit jedem Element der Menge Farbton kombiniert und nennen die neu entstandene Menge „Farbvariation“

Relation

Wir führen in dieser Definition eine weitere Menge ein, die wir „Nuancen“ nennen.

Eine Relation ist eine Zuordnung von Elementen aus zwei verschiedenen Mengen zueinander.
Unsere Menge Nuancen besteht aus den Elementen hellrot, dunkelrot, gelöschtes rot, hellblau, dunkelblau, GelöschtesBlau, Hellgelb, Dunkelgelb und GelöschtesGelb.
Dh.:
Nuancen = {hellrot, dunkelrot, gelöschtes rot, hellblau, dunkelblau, GelöschtesBlau, Hellgelb, Dunkelgelb, GelöschtesGelb}

Wir erinnern uns an die Menge Farbvariation:

Farbvariation = Farbe x Farbton = {(rot, schwarz ),(rot, weiß), (rot, nichts), (blau, schwarz), (blau, weiß), (blau, nichts), (gelb, schwarz), (gelb, weiß), (gelb, nichts)}

Nun ordnen wir die Elemente aus der Menge Farbvariation auf die Menge Nuancen zu.
Eine Zuordnung ist eine Relation, also eine Beziehung zwischen verschiedenen Elementen.

Unsere Relation heißt „Mischen“
Formaler:
Mischen: Farbvariation -> Nuancen
Eine Relation schreiben wir wieder als Tupel (Paare) zwischen den Elementen dieser beiden Mengen.

Wir ordnen also beliebige Tupel aus Farbvariation beliebigen Nuancen zu (da wir keine Vorgaben haben.😉 ):

Mischen ={((rot, schwarz), dunkelrot ),((rot, weiß), hellrot), ((rot, nichts), GelöschtesRot),( (blau, schwarz), dunkelblau), ((blau, weiß), hellblau), ((blau, nichts), GelöschtesBlau), ((gelb, schwarz), hellgelb),( (gelb, weiß), dunkelgelb), ((gelb, nichts), GelöschtesGelb)}

dabei werden die Tupel aus Farbvariation als eigenständige Elemente betrachtet. Auch ist es egal ob wir sie dem namen gemäß zuordnen. In Realität mischen sich aus gelb und weiß nicht dunkelgelb und aus gelb und schwarz nicht hellgelb. für unsere Relation Mischen haben wir das allerdings so festgelegt, also „mischen“ wir aus gelb und weiß eben dunkleres Gelb.😉 Die Relation entscheidet, nicht der Name.

 

Hoffe das hat geholfen, auf Nachfragen wird weiter ausgeführt.😉

Nächstes Kapitel handelt dann von 1.2.5 Totalität und Eindeutigkeit (Die Zahlen beziehen sich im übrigen auf die von Herrn Professor Nestman erstellte Formelsammlung für Theoretische Informatik 1 an der TU Berlin.😉 )

LG, Lae

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